Сергій Петрович Негода
Сума та різниця
степенів двох цілих виразів
Різниця та сума
квадратів
a2 + b2 – не розкладається на множники на множині цілих многочленів з дійсними коефіцієнтами.
a2 – b2 = (a – b)(a + b) – це різниця квадратів двох виразів.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
n2 – 4 = n2 – 22 = (n – 2)(n + 2);
a2 – 36 = a2 – 62 = (a – 6)(a + 6);
64 -
b2 = 82 – b2 = (8–b)(8 +b).
1 – a6 = 12 – (a3)2 =
(1 – a3)(1 + a3);
Вправи для самостійного опрацювання:
Вправи для самостійного опрацювання:
1. Записати вираз у вигляді многочлена:
1) (х + 2)(х - 2); 2) (7 + k)(k - 7); 3) (5m - 1)(1 + 5m), 4) (k + 4)(k -4); 5) (х + 3)(х - 3); 6) (4m - 6)(4m + 6);
7) (5х + 3)2(5х - 3)2; 8) (9m3- 16n6)(9m3 + 16n6); 9) (36z2 - 64x6)4(36z2 + 64x6)4.
2. Розкласти на множники:
1) m2 - 1; 2) k2 -25; 3) 49n2 - 16; 4) 81 - n2; 5) a2 - 4; 6) 64b2 - 25; 7) (5х + 3)2 - (6х +5)2;
8) (9m - 6n)2 - (9m + 6n)2; 9) (3z - 4x)2 - (3z + 4x)2, 10) 0,04a2 - 0,16b2; 11) 0,64k4 - 0,25m2; 12) 0,16k4 - 0,49a42; 13) 0,0081n4- 0,0625m4; 14) a12 – b6 ; 15)
3. Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні змінної вираз:
1) (m + 1)2 – (m - 1)2 ділиться на 4;
2) (2m + 3)2 – (2m- 1 )2 ділиться на 8.
3) (5m + 2)2 – (5m - 2 )2 ділиться на 40;
4) (9k + 6)2 – (7k - 6)2 ділиться на 4.
5) (4m +3)2 – (4n-3)2 ділиться на 48;
6) (5k + 1)2 – (2k - 1)2 ділиться на 7.
7) (k + 2)2 – (k - 2)2 ділиться на 8;
8) (3m + 1)2 – (3m- 1 )2 ділиться на 12.
Різниця та сума кубів
а3 – b3 = (a–b)(a2 +аb + b2) – це різниця кубів
двох виразів.
а3 + b3 = (a+b)(a2 –аb + b2) – це cума кубів двох
виразів.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
p3 + g3
= (p + g)(p2 – pg + g2);
8 – a3 = 23 – a3 = (2 – a)(4 +
2a + a2);
c3 + 8x3
= c3 + 23x3
= (c + 2x)(c2 - 2xc + 4x2);
1 – a6 = 13 – (a2)3 =
(1 – a2)(1 + a2 + a4);
a3 + c6 = a3
+(c2)3 = (a + c2)(a2 - ac2 + c4);
27 + a3b3
= 33 + a3b3 =
(3 + ab)(9 - 3ab + a2b2);
p3x6 + 1 = (px2 + 1)(p2x4
- px2 + 1);
= (3m + n2)(9m2
- 3mn2 + n4);
a3c3 +27x3 = (ac + 3x)(a2c2 - 3acx + 9x2);
– c6 + 27x3
= (3x - c2)(9x2 3xc2 + c4);
a6c9 -
27x3 = (a2c3 - 3x)(a4c6
+ 3xa2c3 + 9x2).
Вправи для самостійного опрацювання:
1. Записати вираз у вигляді многочлена:
1) (n - 3)(n2 +3n + 9); 2) (8k + 2)(64k2 – 16k + 4); 3) (5 – 2m)(25 +10m + 4m2); 4) (6k + 2)(36k2 – 12k +4);
5) (2 – 4n)(4+8n + 16n2); 6) (9k+2)(81k2 – 18k + 4).
2. Розкласти на множники:
1) m3 - 1; 2) k3+ 125; 3) 8n2 - 27; 4) 64 + а3; 5) 125a3 - 64; 6) 64b3 + 27; 7) (5х + 3)3 - (6х +5)3;
8) (9m - 6n )3 + (9m + 6n)3; 9) (3z2 - 4x)3 - (3z2 + 4x)3; 10) 0,001n3 - 0,027k3; 11) 0,008m3 + 0,125с3, 12) 343x3 - 125z3; 13) 125c3 +
27d3; 14) 64m3 + 0,027n6; 15) 27c9 - 0,064d6.
Різниця та сума біквадратів
а4 – b4 = (a–b)(a3+а2b+аb2 + b3) = (a – b)(a + b)(a2 + b2);
а4 + b4 - не розкладається
на множники
а5– b5= (a–b)(a4+а3b + а2b2 + аb3 + b4);
а5 + b5= (a+b)( a4–а3b + а2b2 –аb3 + b4);
a2m + b2m - не розкладається на множники
аn– bn= (a–b)( an-1+аn-2b + аn-3b2 +… +а2bn-3 + аbn-2 + bn-1);
Якщо b =1, тоді
аn– 1= (a–1)( an-1+аn-2 + аn-3 +… + а2 + а + 1);
(a ± b)0 = 1;
(a ± b)1 = a ± b
Квадрат двочлена:
(a +
b)2
= a2 + 2ab
+ b2 – це квадрат суми двох чисел.
(a –
b)2
= a2 – 2ab
+ b2 – це квадрат різниці двох чисел.
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
1 + 2b + b2 = 12 + 2∙1b + b2 = (1 + b)2
4 + 4b + b2 = 22 + 2∙2b + b2 = (2 + b)2;
49 – 14b + b2 = 72 – 2∙7b + b2 = (7 – b)2;
64 + 16b + b2 = 82 + 2∙8b + b2 = (8 + b)2;
400 – 40b + b2 = 202 – 2∙20b + b2 = (20 – b)2;
4 + 12b + 9b2 = 22 + 2∙2∙3b + 32∙b2 = (2 + 3b)2.
Розв’язати рівняння:
a) x2 - 6x + 9 = 0;
б) z2 + 4z + 4 = 0;
в)5y2 - 40y + 80 = 0.
г) c2 + 9 = 6c; д) y2 + 4 = 4y;
ж) 2x2 + 2 - 4x = 0; з) x – 1= 0,25x2.
Розв’язання:
a) x2 - 6x + 9 = 0
x2 - 2∙3x
+ 32 = 0; (x - 3)(x - 3) =0; x - 3 = 0; x = 3.
Biдповідь: x = 3.
б) z2 +
4z + 4 = 0
z2 + 2∙z∙2
+ 22 = 0; (z + 2)(z + 2) = 0; z + 2 = 0, z = -2.
Biдповідь: z = -2.
в) 5(y2 -
8y + 16) = 0
5(y2 - 2y∙4 + 42)
- 0; 5(у- 4)(y - 4) = 0; y - 4 = 0, у = 4.
Biдповідь: y = 4.
г) c2 + 9 = 6c
с2 - 6c
+ 9 = 0; c2 - 2 ∙c ∙3 + 32
= 0; (c - 3)(c - 3) =
0; c – 3 = 0; c = 3.
Biдповідь: c
= 3.
д) y2 + 4 = 4y;
у2 - 4y + 4 = 0; y2 - 2∙y∙2 + 22 = 0;
(y - 2)(y - 2) = 0; y - 2 = 0;
y = 2.
Biдповідь: y = 2.
ж) 2x2 + 2 - 4x = 0;
2(x2 - 2x + 1) - 0;
x2 - 2x∙1 + 12 = 0; (x - 1)(x - 1) =
0; x– 1 = 0; x
= 1
Biдповідь: x
= 1.
з) x – 1= 0,25x2
0,25x2 - x + 1= 0; (0,5x)2 - 2 ∙0,5x ∙ 1 + l2 = 0; (0,5x - l)(0,5x
- 1) = 0;
0,5x -1 = 0;
0,5x = 1
х = 2
Biдповідь: x = 2.
Вправи для самостійного опрацювання:
1. Записати вираз у вигляді многочлена:
A. 1) (n - 4)2; 2) (3а + 1)2; 3) (5х - 1)2; 4) (3а + 1)2; 5) (2x + 4)2; 6) (3х - 7)2; 7) (3x5-7z3)2; 8) (15x5+
17z3)2;
B. 1) (n - 1)2; 2) (2а + 1)2; 3) (4х - 1)2; 4) (6а + 4)2; 5) (12x + 14)2; 6) (13х - 17)2; 7) (12x5- 27z3)2;
8) (15x5+ 17z3)2;
2. Розкласти на множники:
1) m2 – 2mу + у2; 2) n2
+
4nb
+ 4b2; 3) k2 – 2km
+ m2; 4) a2 +
8am
+ 16m2; 5) 25n2 – 10nу + у2; 6) m2
+
6mb
+ 9b2; 7) 16a2
–
8aу + у2; 8) m2
+
10mk
+
25k2; 9) 16x4 + 8х2 +1; 10) 36x4 +12х2 + 1; 11) 81x4 +18х2 + 1; 12) 4x4 + 4х2 + 1; 13) 36z4-36x2y + 9y2. 14) 72z4 - 72x2y + 18y2. 15) 108z4 - 108x2y + 27y2. 16) 12z4 - 12x2y + 3y2.
Куб двочлена:
Куб двочлена:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – це куб суми двох чисел;
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 – це куб суми або різниці двох чисел;
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул:
27 + 27b + 9b2 + b3
= 33
+ 3∙32b + 3∙3b2 + b3 = (3 + b)3;
1 + 3m + 3m2 + m3
= 13
+ 3∙12m + 3∙1∙m2 + m3 = (1+ m)3 ;
64 – 48c + 12c2 – c3
= 43
– 3∙42c + 3∙4c2 – c3 = (4 – c)3;
8 – 12n + 6n2 – n3
= 23
– 3∙22n + 3∙2n2 – n3 = (2 – n)3 .
Іноді стають у нагоді такі формули:
(a±b)4 = a4±4a3b +6a2b2
±4ab2 +b4;
(a±b)5 = a5±5a4b +10a3b2 ±10a2b3
+5ab4 ±b5;
(a±b)6= a6±6a5b +15a4b2 ±20a3b3 +15a2b4
±6ab5 +b6.
Для непарних n
аn+ bn= (a+b)( an-1-аn-2b + аn-3b2 -… +а2bn-3 - аbn-2 + bn-1);
Якщо b =1, тоді
a2n+1+ 1= (a+1)( an-1- аn-2 - аn-3 +… +а2 - а + 1);
а3 + b3+c3 -3abc = (a+b+c)(a2 + b2 +c2
–аb–bc–ac);
(a+b+c)2 = a2 + b2 +c2
+2аb+2bc+2ac;
Розглянемо
декілька вправ на використання цих формул.
Використовуючи
формули скороченого множення, розкладіть на множники многочлени:
9a2 + 24ab +16b2;
4a2
– 9; 9n2 – 25m2;
16m2 – 81n2;
49z2
– 100v2; 64a2 – 900b2;
4900z2 – 2500d2;
y3
+ 1000; y3 + 125x3;
m4 – 16; n6 – 1; m8 – 1;
x2 – y2
– zx – zy; x2 – 4 – ax – 2a; t2 + t4 –
y4 – y2;
z2 – 6zt + 9t2 - 3z2 + 9zt; 3a2 – 18a
+ 27; r3 – 4r + 16 – 4r2;
49x2 - (5x + y)2;
(3
- 2u)2 + 2(3 - 2u) + 1; m5 – 32;
(2 + t)3 - (t - 2)3; (r - 1)3 + (r + 1)3.
Найчастіше
використовують розклад на множники многочленів при розв’язування рівнянь.
Розв’яжемо рівняння способом розкладання на множники:
x4 - (2 - x2)2 = 0
Використаємо
різницю квадратів a2 – b2 = (a–b)(a+b) і розкладемо на множники ліву частину рівняння:
(x2 - 2 + x2)(x2 + 2 - x2) = 0;
(2x2 - 2) • 2 = 0
4(x2 - 1) = 0;
(x -1)(x + 1) = 0;
x – 1 =
0; x1 = 1
x + 1 =
0; x2 = -1
Відповідь:x1 = -1; x2 =1.
Використовуючи формули скороченого множення, розв'яжіть рівняння:
x4 - (25 - x2)2 = 0; x4 - (16 - x2)2 = 0; x4 - (49- x2)2 = 0;
(x – 5)4 - (25 - x2)2 = 0; (x –4)4 - (16 - x2)2 = 0; (x – 7)4 - (49- x2)2=0;
x4 - (36 - x)2 = 0; x4 - (81- x)2 = 0; x4 - (64- x)2 = 0;
x2 - (36 - x)2 = 0; x2 - (1- x)2 = 0; x2 - (4- x)2 = 0;
64 + n3 = 0; 125 + n3 = 0; 216 - n3 =
0.
РОЗКЛАД НА МНОЖНИКИ МНОГОЧЛЕНІВ
СТУПЕНІ БІЛЬШЕ 2
Для будь-якого многочлена степеня більше 2 доводиться, що
існує квадратний тричлен, на який даний многочлен ділиться без остачі.
Для многочлена третього степеня
Р3(х) = ах3 + bх2 + сх + d
можливе одне з двох:
a) або він розкладається в добуток трьох лінійних двочленів,
тобто
Р3(х) = а(х – x1)(х – x2)(х – x3),
де числа x1, x2, x3 - нулі многочлена третього ступеня не обов'язково різні
б) або він розкладається в добуток
двочлена
і квадратного тричлена, тобто
Р3(х) = а(х - x1)(х2
+ px + q).
Приклад. Розкласти многочлени на множники:
а) х3 + х – 2; б) х3
– 3х + 2.
Розв’язання.
а) х3 + х – 2 = (х3
– 1) + (х – 1) = (x - 1)(х2 + x +1)+(х +1)= (x - 1) (х2
+ x +2).
Дискримінант квадратного тричлена х2 + x
+2 менше нуля; тому на множники він не розкладається.
б) х3 – 3x + 2 = х3 – x – 2x + 2 = х (х2
– 1) – 2(х – 1) = (х–1)(х+1)х–2(х–1) =
(х–1)(х2 + х – 2) = (х–1)(х2 – 1+ х – 1)=
(х-1)(х-1)(х + 2) =
= (x-1)2(х+2).
Многочлен
четвертого степеня
Р4 (х) =
ах4 + bх3 + сх2 + dх + f
розкладається:
а) або на добуток чотирьох двочленів:
Р4(х) = а(х – x1)(х – x2)(х – x3)(х – x4),
де числа x1, x2, x3 , x4 нулі многочлена четвертого
ступеня не обов'язково різні;
б) або на добуток двох двочленів і
квадратного тричлена:
Р4(х) = а(х – x1)(х – x2)(х2 + pх +q),
де числа x1, x2 не обов'язково
різні;
в) або на добуток двох квадратних тричленів:
Р4(х) = a(х2 + cх + b)(х2 + px + q),
де одночасно можлива
рівність с = p і b = q.
Приклад. Розкласти на
множники:
а) х4 – 5х2 +
6; б) х4 + 5х2 + 6; в) х4 + х3 – х –
1; г) х4 + 4.
Розв’язання.
а) х4 - 5х2 + 6 = (х2 - 3)(х2 - 2) = (х - 30,5)(х + 30,5)(х–
20,5)(х + 20,5);
б) х4 + 5х2 + 6 = (х2 + 3)(х2 + 2);
в) х4 + х3
– х – 1= х3(х+1) – (х+1) =
(х+1)(х3-1) = (х+1)(x
-1)(х2 + х+1);
г) х4 + 4 = х4 + 4х2
+ 4 – 4х2 = (х2 + 2)2 – (2х)2
=
= (х2 – 2х + 2)(х2
+ 2х + 2).
У
загальному випадку многочлен n-го степеня
Рn(х) = а0 хn + a1 хn-1 + a2 хn-2 + a3 хn-3 +… + an
Можна
записати єдиним чином у вигляді добутку многочленів, степінь
кожного з яких не більше 2, тобто кожний з яких або двочлен лінійного вигляду,
або квадратний тричлен, що не має коренів.
Можливість виділення
у многочлена лінійних множників пов'язана з
наявністю у цього многочлена нуля(корення).
Твердження про коріння многочлена:
Многочлен n-й степеня
має не більше n дійсних коренів (з урахуванням їх
кратностей).
Многочлен непарного степеня має
хоч би один дійсний корінь.
Комбіновані способи
розкладання на множники
Є багато
таких многочленів від декількох змінних, розкладання яких на множники вимагає
неабиякої кмітливості.
Наприклад,
розкласти на множники многочлен:
(a –
b)3 + (b –
c)3 + (c –
a)3
Розв’язання: 1 спосіб:
(a – b)3
+ (b – c)3
+ (c – a)3
= ((a – b)3 + (b – c)3) + (c – a)3 =
= ((a
-b) + (b -
c))((a - b)2
- (a - b) (b - c) + (b- c)2) + (c – a)3 =
= (a – c)((a-b)2-(a-b)(b-c) + (b-c)2 )-(a-c)3 =
= (a – c)((a – b)2 – (a –
b)(b – c)+(b –
c)2 – (a – c)2)
=
= (a – c)(a2 – 2ab + b2 – ab +ac + b2 – bc +b2 – 2bc + c2 – a2+ 2ac – c2)
=
= (a – c)(3b2 – 3ab + 3ac – 3bc) =
= 3 (a – c)(b2 – ab + ac – bc) =
= 3(a – c)((b3 – ab ) – (bc – ac)) =
= 3(a – c) (b(b – a) – c (b – a)) =
= 3(a – c)(b – a)(b – c) =
= 3 (a – b)(b – c)(c – a).
Набагато простіше і природніше таке розв’язання:
2
спосіб:
(a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 =
a3 – 3a2b +
3ab2 – b3+ b3 – 3b2c + 3bc2 – c3 + c3
– 3c2a + 3ca2 – a3 =
= -3a2b + 3ab2 – 3b2c + 3bc2 – 3c2a + 3ca2 =
= -3ab(a – b) + 3c(a2 – b2) – 3c2
(a – b) =
= 3(a – b)((a + b)c – ab – c2) = 3(a –b)(a(c – b) + c(b – c)) =
= 3(a – b)(b – c)(c – a).
Пропонуємо розглянути такі приклади:
1. a4 + 4 = a4 + 4a2 + 4 – 4a2 = (a2 + 2)2 – 4a2 = (a2 – 2a + 2)(a2
+ 2a + 2);
2. a4 + a2 + 1 = a4 + 2a2 + 1 – a2 =
(a2 + a + l)(a2 – a + 1);
3. а5 + a +1 = a5 + a4 – a4 + a3 – a3 + a2 – a2 + a + 1 =
= (a5 + a4 + a3) – (a4 + a3 + a2) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + l)(a3 – a2 + 1);
4. a10 + a5 + 1 =
(a10 + a9+ a8) – (a9 + a8 + a7) + (a7 + a6 + a5) – (a6 + a5
+ a4) +
+ (a5 + a4 + а3) – (a3 + a2 + a) + (a2 + a + 1) =
= (a2 + a + 1)(a8 – a7 + a5 – a4 + a3 – a + 1);
5. a3 + b3 + c3 – 3abc =
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 – 3abc –3a2b – 3ab2 =
= ((a
+ b)3+ c3) – 3ab(a + b + c) =
= (a
+ b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2) –3ab(a +b + c) =
= (a
+ b + c)(a3 + b3 +
c2 – ab – ac – bc).
Варіанти завдань для самостійного опрацювання
1.
Записати вираз у вигляді многочлена стандартного виду:
а) х2 + 4х + 12 – 5х2 –
х
– 21;
б) – 5a2 – a +
4a2 + 4a + 1 – 3a2 –8a – 5;
в) – 3zy2 – yz + 8zy2 + 2zy + z –
yz2 – 4z2y – 7z.
2. Записати
вираз у вигляді многочлена стандартного виду:
а) 2(a2 –3a – 2) – 3(2a2 +4a – 7);
б) -3b4(7b2 – 4b – 7) + 2b3(b2 – 3b – 1);
в) 3nk4(2n4k2 –
4n2k4 + kn5) – 4nk4(3n3k2 + 8n3k4 – 2n5k).
3. Записати добуток різницею
квадратів:
а) (c + 7)(c –7); б) (a + 2)(2 – a);
в) (y – 8)(8 + y); г) (5 + d)(d –
5);
д) (7m – 8n)(8n
+ 7m); е) (3b
+ 5a2)( 3b – 5a2);
є) (4z4 + 9x5)(9x5 – 4z4).
4. Записати різницю квадратів у вигляді добутку:
а) n2 – m2; б) 22 – а2; в) b2 – 12; г) y2 – 16; д) 36х2 – 49;
е) 9b2 – 25c2; є) 4z2 – 9x2; ж) 9k2 – 36m2; з) 0,49c4 – 0,25d6;
и) 81х2 – 100y6; і) 4aх3 – 25b2y4; й) 9b2х2 – 49a4y2;
і) 36a4c2 – 25b2d4.
5. Записати у вигляді квадрату суми:
а) n2 + 6n + 9; б) x2 + 2xy + y2; в) k2 + 4km + 4m2;
г) a2 + 10ab + 25b2; д) a2 + 2a + 1; е) 25n2 + 60n + 36;
є) 9n2 + 42nm + 49m2; ж) 81n2 + 18nm + m2.
6. Записати у вигляді квадрату різниці:
а) n2 – 2n + 1; б) x2 – 2xy + y2; в) k2 – 8km + 16m2;
г) a2 – ab + 0,25b2; д) 1 – 2a + a2; е) 25z2 – 60z + 36;
є) 9n2 – 48nm + 64m2; ж) 64x2 – 16xy + y2.
7. Записати квадрат різниці у вигляді многочлена
стандартного виду:
а) (n – m)2; б) (2 – а)2; в) (2b – 1)2;
г) (5y – 4)2; д) (6х – 7)2;
е) (9b – 2c)2; є) (4z – 9x2) 2; ж) (3k3 – 8m2) 2; з) (7c4 – 5d5) 2.
и) (3х2 – 7y3)2; і) (4aх3 – 5by4)2; й) (2b2х3 – a4y3)2; і) (3a4c3 – 2b3d4)2.
8. Записати квадрат суми у вигляді многочлена стандартного
виду:
а) (m + k)2; б) (x + 4)2; в) (3х + 2)2; г) (3y + 4)2;
д) (5х + 7)2;
е) (7b + 5c)2; є) (3z + 8y2)
2; ж) (4n3 + 3m4) 2; з) (5a5 + 2b7) 2.
и) (3a2 + 8b3)2; і) (3aх5 + 5y4)2; й) (2b3х2 +
a5y4)2;
і) (3a7c8 + 2b3d4)2.
9. Записати добуток у
вигляді многочлена стандартного виду:
а) (n – 3)(n2 + 3n + 9); б) (m – n)(m2 + mn + n2);
в) (k –
2m)(k2 + 2km + 4m2); г) (a – 5b)(a2 + 5ab + 25b2);
д) (a – 4b)(a2 + 4ab + 16b2);
е) (5n – 6)(25n2 + 30n + 36);
є) (3n – 7m)(9n2 + 21nm + 49m2);
10. Записати добуток у
вигляді многочлена стандартного виду:
а) (n + 1)(n2 – n + 1); б) (a + b)(a2 – ab + b2);
в) (k +
3m)(k2 – 3km + 9m2); г) (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2);
д) (x + 4y)(x2 – 4xy + 16y2); е) (5z + 6y)(25z2 – 30zy + 36y2);
є) (5n + 7m)(25n2 – 35nm + 49m2); ж) (8k + 2)(64k2 – 16k + 4);
11. Записати різницю кубів у вигляді добутку:
а) n3 – m3; б) 23 – а3; в) b3 – 13; г) y3 – 64; д) 27х3 – 1000;
е) 8b3 – 125c3; є) 64z3 – 0,001x3; ж) 0,027k3 – 0,064m3;
з) 0,125c3 – 0,008d3; и) х6 – 1000y9; і) 216х3 – 125b3y6;
й) 8b3х9 – 343a12y15; і) 512a3c12 – 729b21d42.
12. Записати суму кубів у вигляді добутку:
а) n3 + m3; б) 8 + а3; в) b3 + 1; г) y3 + 27; д) 64х3 + 1000;
е) 216b3 + 125c3; є) 64z3 + 0,001x3; ж) 0,027k3 + 0,064m3;
з) 0,125c3 + 0,008d3; и) х6 + 1000y9; і) 216х3 + 125b3y6;
й) 8b3х9 +
343a12y15; і) 512a3c12 + 729b21d42.
13. Розкрити дужки
а) (3x2 – 7z)2; б) (x2 + 2z3)2; в) (4m3 – 5n4)(4m3 + 5n4);
г) (z3 – x)2(z3 + x)2; д) (a4 – b2)2(a4 + b2)2; t) (z2 – x3)2(z2 + x3)2.
14. Записати куб
різниці у вигляді многочлена стандартного виду:
а) (n – m)3; б) (2 – а)3; в) (2b – 1)3;
г) (3y – 1)3; д) (х – 7)3;
е) (5b –c)3; є) (2z – 3x) 3; ж) (3k – 5m)3; з) (7c2 – 5d)3;
и) (3х2 – y3)3; і) (4х3 – 5y4)3; й) (ab2 – c4)3; і) (3a4 – 2b3)3.
15. Записати куб суми
у вигляді многочлена стандартного виду:
а) (m + k)3; б) (x + 3)3; в) (2х + 1)3; г) (2y + 2)3;
д) (2х + 7)3;
е) (3b + 5c)3; є) (3z + 2y2)
3; ж) (4n2 + 3m) 3; з) (5a2 + 2b3)3.
и) (3a2 + 8b3)3; і) (3х5 + 5y4)3; й) (х2 +
a2y4)3; і) (3a7c8 + b3d4)3.
16. Розкласти
на множники:
1) m2 – 1; k2 – 25; 49n2 – 16;
2) m2
– 2mу + у2; n2
+ 2nb + b2;
4) 0,09n2 – 0,25m2;
5) 16x4 + 8х2
+1;
6) n3 – 0,008с3;
m3 + 0,027k3.
7) 64x3 – 27z3;
1000m3 + 216n3;
8) 27m3 + 0,001n6;
125m9 + 0,001n6;
9) 36z4 – 36x2y + 9y2.
17. Спростити вираз
a) (a + 5)2 + (a – 4)(a + 4) – (a + 6)(6 – a);
б) (b – 6)2 – (b – 1)(b + 1) – (4 – b)(b + 4);
в) (2k + 5)2 + (3k – 4)(3k + 4) – (4k – 6)2;
г) (k – 5)2 – (7k – 4)(7k + 4) – (9k + 6) 2.
18. Розкласти на множники:
а) k 2 – m2 + 4(k + m)2;
б) n3 + b3
+ 6nb(n +b);
в) x3 – 4x2 – 20x + 80.
19. Спростити вираз:
a) (a + 1)2 – (a – 2)3 – (a + 2)(2 – a);
б) (b – 3)2 – (b + 1)3 – (1 – b)(b + 1);
в) (2k + 1)2 + (3k – 1)3 – (2k – 3)2;
г) (a + (b + c))(a – (b + c));
д) (a – (b – c))(a + (b – c));
е) (2x2 + 1)2 + (3x – 1)3 – (2x2 – 1)2;
є) (k – 2)2 – (k – 2)(k + 2) – (k + 1)3.
г) (k – 2)2 – (k – 2)(k + 2) – (k + 1)3.
20. Розкласти на множники:
a) (a + 1)2 – (4a – 2)2 ;
б) (b – 2)3 – (3b + 1)3;
в) (2k + 1)3 + (5k – 3)3;
г) (8k – 9)2 – (2k + 7)2.
21. Розв'язати
рівняння, використовуючи розклад
на множники:
а) x2 + x = 0; y2 - y
= 0; z3 - z = 0; a3 - a5 = 0;
б) 4x2 – 64 = 0; 9y2 – 36 = 0; 9 – 81z2 = 0;
в) 3x2 +
4x = 0; 5y2 - 6y = 0; – 3z2 – 4z = 0;
г) x3
– 4x = 0; 49y3 – 9y = 0; 4z3 – 25z = 0;
д) x4 + x = 0; 6,4y4 – 12,5y = 0; 8z4 + 27z = 0.
22. Розв'язати
рівняння, використовуючи розклад
на множники:
а) 4x2 – 1 = 0; 3,6y2 – 2,5
= 0; 1,6z2 – 6,4 = 0;
б) 16x2 – 25x4 = 0; 1,6x2 – 4,9x4 = 0; 3,6x2 – 8,1x4 = 0;
в) – x4 + 36x2 = 0; – x3 – 36x5 = 0; 4x – 36x3 = 0;
г) x4 – x3 + x2 – 1 = 0; m5 – m3 + m2 – 1 = 0;
д) x3 – x2 – x – 1 = 0; a3 + 15a2
+ 75a + 125 = 0;
е) (x – 2)2 = (x – 2) (x + 2); 16x2 – (4x -5)2 = 15;
є) (x2 +1)2 –
4x2 = (x – 1)2(x +1)2; x4 – 18x2 + 81 = 0;
ж) (2x -3)2 – (2x + 3)2 = 12; a3 – 12a2
+ 48a – 64 = 0
22. Доведіть,
що при будь-якому натуральному значенні
змінної вираз:
а) (m + 1)2 – (m – 1)2 ділиться на 4;
б) (2m + 3)2 – (2m – 1 )2 ділиться на 8.
в) (k + 2)2 – (k - 2)2 ділиться на 8;
г) (3m + 1)2 – (3m- 1 )2 ділиться на 12.
д) (4m +3)2 – (4n-3)2 ділиться на 48;
е) (5k + 1)2 – (2k - 1)2 ділиться на 7;
є) (5m + 2)2 –
(5m - 2 )2 ділиться на 40;
ж) (9k + 6)2 –
(7k - 6)2 ділиться на 4;
з) (7k - 2)2 – (2k - 7)2 ділиться на 5;
и) (7n- 2)2 – (2n - 7)2 ділиться на 9.
23. Доведіть,
що:
а) (2m – 3)2 = (3 – 2m)2;
б) (–2t– 3)2
= (3 + 2t)2;
в) (– a – b)(a + b) = – (a + b)2;
г) (– c – d)3
= – (c + d)3;
д) (m – n)3
= – (m – n)3;
е) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
24.Доведіть,
що:
а) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2аb + 2bc + 2ac;
б) (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2аb – 2bc + 2ac;
в) (a – b – c)2 = a2 + b2 + c2 – 2аb – 2bc – 2ac;
г) а3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – аb – bc – ac);
д) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 = 3(a – b)(b – c)(c – a);
е) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) + 2(а3 + b3 + c3 - 3abc);
є) (a ± b)4 = a4 ± 4a3b + 6a2b2
± 4ab2 + b4;
ж) a2 + (а – 1)2 + (а(а – 1))2 = (а2
– а + 1)2;
з) а4 – b4 = (a–b)(a3 + а2b + аb2 + b3).
25.
Відомо, що x + y =
0, xy = – 4. Обчислити вирази:
1) yx2 + xy2; y2x4 + x2y4; x3 + y3; x2 + y2;
2) x6 + y6; (x + y)3; (x – y)3; уx3 + хy3.
26. Використовуючи формули
скороченого множення, розкладіть на множники многочлени і знайдіть корені рівняння:
а) 9 + 24b +16b2= 0; (4 + a)2 – 9= 0; (9 – k)2 –
25k2=
0;
б) (1 – n)2
– 81n2= 0; 49z2 –
100v2; 64a2 – 900b2;
в) 4900z4 – 2500z2= 0; y3 + 1000= 0; 8 - 125x3= 0;
г) m4 – 16=
0; n6 – 1= 0; m8 – 1= 0; x2 – y2 – zx
– zy =
0;
д) x2 – 4 –
ax – 2a= 0; 25 - (4t4 – 4y2 –
1) = 0;
е) 3a2 – 18a
+ 27= 0; r3 – 4r + 16 – 4r2 = 0; 49x2 - (5x + 1)2 = 0;
є) (3 - 2u)2
+ 2(3 - 2u) + 1=
0; (2 + t)3
- t3 =
0; (r - 1)3
+ (r + 1)3 =
0.
